失業保険について５月２０日から１０月３１日までテンプスタッフで派遣社員として働きました。ただし、派遣なので契約終了したのは派遣元と派遣先の契約です。

失業保険についてなんだけど、今年の3月の半ばで派遣切りになり、会社事情なんですぐに90日間までの、失業保険を貰ってました。
そして、5月半ばに就職が決まり、10月の半ばに退職。今、現在はパートで働いています。そこで、今退職したら、失業保険は残り貰えるでしょうか?また、個人での退職だと、すぐに貰えないのでしょうか?

パートで働いているところでは雇用保険には加入されているでしょうか？

もし加入されていて月に11日以上働いていて会社都合で退職するのなら新たに受給資格が発生するので、

（5月半ば～10月半ばまでの5か月とパート勤務1か月以上で６か月以上。
会社都合での退職の場合、1年以内に6か月以上の雇用保険の被保険者期間があれば受給要件を満たします）

すぐに失業保険をもらうことが出来ます。

ただし、自己都合で退職したときは、2年以内に12か月以上の雇用保険の被保険者期間が必要なので、受給要件を満たさず、もらうことが出来ません。

派遣社員ですが、退職金などがでる保険などはありますか？
以前退職予定の友人が、「保険に入っているから2か月分くらい給料を貰える」というようなことを言っていました。
（特別に入っているような言い方をしていたので雇用保険ではないように感じました。）

自分は普通の健康保険・雇用保険・厚生年金に入っているのですが、退職金の制度はありませんので、
雇用保険で貰える失業保険のお金を退職金と捉える（もちろん違うことは分かっています）のが賢明でしょうか？
それとも、他になにか良い保険があり、それに加入したら退職金をいただけるのでしょうか？
友人に何に入っていたのか聞きたいのですが、現在ニートになっているのでちょっと聞きづらいです。

ちなみに就業先はもうすぐ1年半になります。
せっかく続けているので勤続年数が反映されたら良いと思っています。
どなたかお知恵をおかしください。

雇用保険のことだと思います。

民間での保険は自己都合等退職で出るような類であれば「保険として支払い超過になり成り立ちません」から。

けがをしたり病気をしたりであれば出る保険はたくさんありますが。

失業保険の支給額について。
３月１４日に退職をして、３月１５日が社会保険喪失になっているのですが、実際３月は２日間しか仕事をしていません。
こういった場合でも過去６ヶ月の計算に入ってしまうのでしょうか？

後、今から４ヶ月程アルバイトをしてからハローワークに行った場合（その間に社会保険に入って）
過去６ヶ月の給料計算は、前の会社と今からするバイトの合わさった計算になるのでしょうか？

ご存知の方がいれば教えて下さい。

失業保険は雇用保険の事で健康保険（社会保険）とは別のものですよ。
雇用保険の受給申請には離職票が必要ですが、辞めた会社から発行されましたか？
それと退職の理由が自己都合だと1年以上の雇用保険被保険者期間がなければ受給は出来ませんよ。（会社都合の場合は6ヶ月以上）

4ヶ月アルバイト（雇用保険加入）の場合は、アルバイトでの離職票と前回の会社の離職票の両方が必要になります。

失業保険について
５月２０日から１０月３１日までテンプスタッフで派遣社員として働きました。契約更新がない場合、会社都合として失業給付は受けれるでしょうか？

最初から決まっていた期間の満了で１年以内ですので元々会社都合にはなりません。なので期間がたりません。

補足について：前の期間はつなげることが出来ますので失業手当の対象にはなります。ただし、派遣なので契約終了したのは派遣元と派遣先の契約です。あなたの雇用契約は派遣元とのものなので、こちらがあなたをたとえば他へ紹介出来ないとまれば会社都合になる可能性もあります。ただし、次を紹介されたのに断れば自己都合となります。